a^2-b=b^2-a=2

因为a^2-b=b^2-a
所以a^2-b^2=b-a
(a+b)(a-b)+(a-b)=0
(a-b)(a+b+1)=0
若a-b=0即a=b
则a^2-a=b^2-b=2
则a=b=2或a=b=-1
若a+b+1=0，则a+b=-1
所以有三解
a+b=4,a+b=-2,a+b=-1

a^2-b=2 (1)
b^2-a=2 (2)
b=a^2-2 (3)
把（3）带入（2）
(a^2-2)^2-a=2
a^4-4a^2+4-a=2
a^4-4a^2-a+2=0
a^2(a^2-4)-(a-2)=0
a^2(a+2)(a-2)-(a-2)=0 然后合并一下
(a-2)(a^3+2a^2-1)=0
因为两个数相乘等于0
a-2=0 a^3+2a^2-1=0
a=2 『然后带入（1）』 a=?（我也不知道了）
b=2
所以 a+b=4

手都酸了，不知道对不对，来点悬赏吧。。。。。

a^2-b=b^2-a

左右交换a^2-b^2=b-a
(a-b)(a+b)=b-a

则a=b
或a+b=-1

因为a^2-b=2
a=b
得 a1=2 所以a+b=4
a2=-1 所以a+b=-2

综上所述：a+b=4，-2，-1

a^2-b=b^2-a
(a-b)(a+b+1)=0
因为a^2-b=2.
所以a+b+1不能等于0
a-b=0
a=b
a^2-a-2=0
a=2,或a=-1
a+b=4,a+b=-2

a^2-b=b^2-a
a^2-b^2=b-a
(a+b)(a-b)=b-a
a+b=-1